Возьмите салфетку или бумажное полотенце и сложите его пополам. Вы удвоили его толщину. Сложите его пополам еще раз. Первоначальная толщина увеличилась в четыре раза. Снова, в четвертый раз сложите его вдвое, и оно станет в 16 раз толще, чем было сначала. Его толщина составит около сантиметра.

Если сложить его вдвое еще 29 раз, то есть всего 33 раза, какова будет его толщина? Полметра? Метр? От 1 до 10 м? От 10 м до километра?

Конечно, вы физически не сможете вдвое сложить салфетку или бумажное полотенце 33 раза. Но если бы смогли, то итоговая толщина была бы больше 5400 км — больше, чем от Москвы до Байкала.

Эго и есть экспоненциальный рост: удвоение, повторное удвоение и снова удвоение и т. д. Он примечателен тем, что способен достигать огромных значений за короткое время. Экспоненциально растущие параметры озадачивают нас, так как большинство людей воспринимает рост как линейный процесс. Величина растет линейно, если за постоянный период времени она возрастает на постоянную величину. Если бригада дорожных строителей каждую неделю укладывает один километр автомобильной дороги, то ее длина растет линейно. Если ребенок ежегодно кладет в копилку 7 долларов, то его сбережения увеличиваются линейно. Количество асфальта, укладываемого каждую неделю, не зависит от того, сколько уже было уложено к этому времени, и добавленная ребенком сумма тоже не зависит от того, сколько денег уже было к тому времени в копилке. Когда параметр растет линейно, приращение за

Рис. 2.2. Городское население в мире

За прошедшие 50 лет городское население экспоненциально увеличивалось в странах со слаборазвитой промышленностью и практически линейно — в промышленно развитых странах. Среднее время удвоения городского населения в странах со слаборазвитой промышленностью составляет 19 лет. Предполагается, что этот показатель сохранится в ближайшие несколько десятилетий. (Источник: UN.)

постоянный период времени всегда одинаково, оно не зависит от того, каким было само значение параметра в этот момент.

Величина растет экспоненциально, если приращение пропорционально самой величине. Колония дрожжей, в которой каждая клетка делится на две каждые 10 минут, растет экспоненциально. Из каждой клетки через 10 минут будет уже 2 клетки. Еще через 10 минут их будет уже 4, еще через 10 минут — 8, затем 16 и т. д. Чем больше клеток, тем больше новых клеток образуется в единицу времени. Прибыль компании, которая успешно увеличивает валовую выручку на определенный процент в год, через несколько лет экспоненциально вырастет. Когда параметр растет экспоненциально, приращение тоже растет с течением времени, оно зависит от того, каково значение самого параметра в этот момент.

Ключевое отличие экспоненциального роста от линейного можно проиллюстрировать на примере. Допустим, у вас есть 100 долларов. Вы можете положить деньги в банк и получать проценты (вклад с капитализацией процентов) или положить их в копилку и каждый год добавлять определенную сумму. Если вы внесли на счет 100 долларов под 7 % годовых с капитализацией, то есть добавлением процентов к сумме счета, то вклад будет расти экспоненциально. Каждый год сумма будет прирастать

Рис. 2.3. Сравнение линейного и экспоненциального роста накоплений Если положить 100 долларов в копилку и каждый год добавлять по 7 долларов, накопления растут линейно, как показано пунктирной линией. Если положить 100 долларов в банк под 7 % годовых, сумма будет расти экспоненциально, со временем удвоения примерно 10 лет.

на большую величину. Процент фиксирован — он по-прежнему составляет 7 % в год, но в абсолютном выражении — в долларах — приращение будет увеличиваться ежегодно. В первый год приращение составит 7 долларов. Во второй год 7 % будут рассчитываться уже от 107 долларов, приращение составит 7,49 долларов, и сумма вклада увеличится до 114,49. Годом позже приращение будет уже 8,01 долларов, а сумма вклада 122,50. К концу десятого года на счете будет 196,72 доллара.

Если же вы положите 100 долларов в копилку и каждый год будете добавлять к ее содержимому по 7 долларов, сумма будет расти линейно. В конце первого года в копилке будет 107 долларов, точно так же, как и на счете в банке. Но в конце десятого года в копилке будет 170 долларов, то есть меньше, чем в банке, хотя разница не настолько велика, чтобы огорчаться.

Поначалу оба вида роста ведут себя похожим образом, но в один прекрасный момент взрывной характер экспоненциального роста себя проявит (рис. 2.3). Через 20 лет в копилке будет 240 долларов, тогда как на банковском счете почти 400 долларов. К концу тридцатого года линейный рост в копилке даст всего 310 долларов, а банковский вклад под 7 % годовых будет располагать суммой в 761 доллар. За 30 лет экспоненциальный рост под 7 % годовых обеспечил разницу в сравнении с линейным ростом больше чем вдвое, хотя стартовая сумма была одинаковая.

В конце пятидесятого года сумма в банке будет в 6,5 раза больше, чем в копилке — разница составит почти 2500 долларов.

Удивительные результаты экспоненциального роста на протяжении столетий приводили людей в восхищение. Существует старая персидская легенда об одном мудром придворном, который подарил своему повелителю прекрасно отделанную шахматную доску, а взамен попросил дать ему 1 зернышко риса за первую клетку, 2 зернышка за вторую, 4 за третью и т. д.

Повелитель согласился и приказал нести рис из кладовых. Для четвертой клетки шахматной доски потребовалось 8 зерен, для десятой — 512, для пятнадцатой — 16 384, а для двадцать первой — уже больше миллиона. К сорок первой клетке число зерен превысило триллион (1012 ). Чтобы расплатиться за все 64 клетки доски, не хватило бы всех запасов риса в мире.

Детская французская загадка иллюстрирует другую характерную черту экспоненциального роста — внезапность, с которой экспоненциально растущая величина достигает определенного предела. Предположим, у вас есть пруд, в котором растет одна кувшинка. Каждый день число кувшинок удваивается. Если позволить им расти бесконтрольно, за 30 дней они покроют всю поверхность пруда, уничтожив в нем все другие формы жизни. Но поначалу кажется, что кувшинок не так уж и много, так что они не вызывают у вас беспокойства, по крайней мере пока не заполонят половину пруда. На какой день это произойдет и сколько времени у вас будет, чтобы спасти пруд?

На спасение пруда у вас будет всего один день, потому что кувшинки покроют половину поверхности на 29-й день. На следующий день, после финального удвоения, пруд будет покрыт ими полностью. Это только поначалу кажется разумным отложить принятие мер до того момента, когда пруд будет закрыт кувшинками наполовину. На 21-й день растения покрывают примерно 0,2 % поверхности. На 25-й день закрыто 3 % зеркала воды. И все равно при таком подходе на спасение пруда у вас будет всего один день.

Из этого примера видно, каким образом экспоненциальный рост в сочетании с запаздыванием реакции может привести к выходу за пределы. Поначалу долгое время рост кажется незначительным, никто и не думает, что это может вызвать какие-то проблемы. Но затем он становится все быстрее и быстрее, пока за последние одно-два удвоения время на реагирование не истечет. В развитии событий в пруду с кувшинками за последний день не происходит никаких принципиальных изменений, процент роста был постоянным весь месяц, от начала и до конца. Просто получается, что в определенный момент экспоненциальный рост набирает такую силу, что справиться с ним уже невозможно.

Особенности экспоненциального роста, его переход от незначительных величин к выходу за пределы можно попробовать на себе. Представьте себе, что вам надо съесть один орешек в первый день месяца, два — во второй день, четыре — в третий и т. д. Сначала вы покупаете и едите орехи по чуть-чуть. Но задолго до конца месяца у вас уже будут проблемы с желудком и состоянием банковского счета. Сколько вы сумеете продержаться, соблюдая экспоненциальную зависимость? На десятый день вам надо будет съесть примерно полкило орехов. А на тридцатый день месяца, чтобы соблюсти принцип удвоения, вам придется купить и съесть больше 500 т!

История с орехами не приведет к тяжелым последствиям по той простой причине, что в один прекрасный день вы окинете взглядом горку орехов, которую вам явно не съесть, и прекратите этот эксперимент. В этом примере нет существенных задержек между действием и его последствиями.

Величина, растущая в соответствии с простой экспоненциальной зависимостью, удваивается за фиксированный период времени. Д ля колонии дрожжей время удвоения составляло 10 минут. Для банковского вклада под 7 % годовых — примерно 10 лет. Для кувшинок в пруду и эксперимента с орехами — ровно один день. Существует простая зависимость между процентом прироста и временем удвоения. Время удвоения приблизительно равно числу 72, деленному на процент прироста. Это иллюстрирует табл. 2.1.

Чтобы проиллюстрировать, к чему приводит постоянное удвоение, рассмотрим пример Нигерии. В 1950 г. численность населения Нигерии составляла порядка 36 млн чел. В 2000 г. она составляла уже 125 млн. За вторую половину XX в. население Нигерии выросло практически в четыре раза. В 2000 г. ежегодный прирост составлял примерно 2,5 %. Время удвоения, рассчитанное как частное 72 и 2,5, составляет примерно 29 лет. Если такие темпы роста сохранятся, население Нигерии будет изменяться в соответствии с табл. 2.2.

Таблица 2.1. Время удвоения

Таблица 2.2. Рост численности населения Нигерии (экстраполяция)

Ребенок, родившийся в Нигерии в 2000 г., вступил в общество, в котором в 4 раза больше людей, чем было в 1950 г. Если рост сохранит те же темпы после 2000 г., а этому ребенку удастся прожить 87 лет, то ему предстоит увидеть население, увеличившееся еще в 8 раз. Тогда в конце XXI в. на каждого нигерийца, жившего в 2000 г., будет приходиться 8 человек, а на каждого жившего в 1950 г. — 28. В Нигерии тогда будет больше миллиарда жителей!

Нигерия — всего лишь одна из многих стран, страдающих от голода и деградации окружающей среды. Разумеется, страна не выдержит увеличения населения еще в 8 раз. Расчеты, которые мы привели в табл. 2.2, призваны показать характер явления удвоения и продемонстрировать, что экспоненциальный рост в ограниченном пространстве с ограниченными ресурсами ни при каких условиях не может продолжаться вечно.

Тогда почему современный мир основан на таком росте? И как его можно остановить?

Примеры экспоненциального роста

Экспоненциальный рост может происходить в двух случаях: если растущий объект воспроизводит сам себя или его рост обусловлен чем-то, что воспроизводит само себя.

Все живые организмы, от бактерий до человека, попадают в первую категорию, то есть новые существа воспроизводятся подобными. Структуру системы самовоспроизводства популяции можно отобразить так, как показано на рис. 2.4.

Эту схему мы построили в соответствии с правилами системной динамики, нашей научной области, позволяющей получить точные результаты. Прямоугольник со словами «популяция дрожжей» отображает уровень — накапливаемый параметр, результат увеличения или уменьшения популяции дрожжей. Стрелками показаны причинные связи или влияния, которые могут принимать самые разные формы. На схеме верхняя стрелка отображает физический поток, приток новых дрожжевых клеток, который увеличивает уровень — дрожжевую популяцию. Стрелка, направленная вниз, иллюстрирует информационное влияние и показывает, что на приток новых клеток влияет значение уровня — число уже

Рис. 2.4. Контур обратной связи при росте популяции дрожжей

существующих клеток. Чем выше уровень, тем больше образуется новых клеток, если скорость роста не изменится. (В реальной жизни, конечно же, есть факторы, которые влияют на скорость роста. Но для упрощения на этой схеме они опущены. Мы к этому еще вернемся).

Знак плюс (+) в центре кольца означает, что стрелки образуют положительный, или усиливающий контур обратной связи. Положительная обратная связь — это замкнутая последовательность причинно-следственных связей, в которой изменение любого элемента приводит к цепочке результатов, которые, в свою очередь, приводят к еще большему изменению исходного элемента в том же направлении. Увеличение приведет к еще большему увеличению, уменьшение — к дальнейшему уменьшению.

В системной динамике название «положительная обратная связь» вовсе не обязательно означает, что она дает положительные, благоприятные для нас результаты. Просто исходное воздействие будет усилено системой. Аналогичным образом «отрицательные обратные связи», о которых вскоре пойдет речь, не обязательно дают негативные результаты. На самом деле они часто оказывают стабилизирующее влияние. Их «отрицательность» выражается лишь в том, что они противодействуют исходному влиянию и стремятся его компенсировать.

Положительная обратная связь может работать как во благо, так и во вред, в зависимости от того, желателен генерируемый ею рост или нет. Такая связь вызывает, например, рост дрожжей при выпечке хлеба, рост суммы на банковском счете и т. п. В этом случае она желательна. Однако данная связь может также приводить, в частности, к вспышке численности насекомых-вредителей, уничтожающих посевы, или к размножению вируса гриппа в горле человека. Эго примеры нежелательных последствий.

Каким бы ни был уровневый параметр, если он вовлечен в контур положительной обратной связи, значит, потенциально он будет подвержен экспоненциальному росту. Это не обязательно означает, что он будет расти экспоненциально; имеется в виду, что у данного параметра есть склонность к такому росту, и при отсутствии препятствий она может проявиться. Росту может препятствовать множество вещей, от нехватки питательных веществ (в случае с дрожжевой культурой), низкой температуры и присутствия других живых организмов (в случае насекомых-вредителей) до наличия или отсутствия инициативы, целей, желаний, потрясений и катаклизмов, болезней и эпидемий (здесь уже речь идет о человеке). Темпы роста могут меняться со временем, они могут быть разными в разных частях света. Но все эти примеры роста — дрожжей, вредителей, населения — при отсутствии препятствий будут развиваться по экспоненте.

По экспоненте может расти и промышленный капитал. Машины и заводы выпускают другие машины и заводы. Металлургический комбинат может производить металл для постройки новых металлургических комбинатов. На заводе по производству крепежных изделий изготавливают гайки и болты, которые будут использованы в станках, производящих крепежные изделия. Любая коммерческая деятельность направлена на получение прибыли, которая инвестируется в расширение коммерческой деятельности и увеличение прибыли. И физический, и финансовый капитал производят еще больший капитал, такова современная индустриальная экономика, ориентированная на рост и самовоспроизводство.

Не случайно в индустриальном мире принято выражать рост экономики в процентах — например, ежегодный прирост может составлять 3 %. Ожидание такого прироста основано на многовековом опыте наращивания капитала за счет его самовоспроизводства. Сохранять прибыль и инвестировать ее в будущее стало привычным делом — определенная доля прибыли вкладывается в расширение бизнеса, чтобы прибыль в будущем стала еще больше. Экономика будет расти экспоненциально до тех пор, пока самовоспроизводство капитала не ограничится изменившимся спросом, доступностью рабочей силы, количеством сырья, энергии, уровнями инвестиций или какими-либо другими факторами, которые могут препятствовать росту в сложной промышленной системе. Как и численность населения, капитал участвует в системной структуре (с положительной обратной связью), которая демонстрирует экспоненциальный рост. Экономика растет не всегда и не везде, как и численность населения, но в их внутренней структуре заложен рост, и когда у них появляется такая возможность, они растут по экспоненте.

В нашей жизни существует еще масса факторов, в которых заложена тенденция к экспоненциальному росту. Насилие может распространяться по экспоненте, коррупция подпитывает сама себя. Изменение климата тоже сопряжено с несколькими положительными обратными связями.

Например, выбросы парниковых газов в атмосферу приводят к повышению глобальной температуры, что ускоряет таяние в областях вечной мерзлоты. Тундра при оттаивании высвобождает связанный метан, который является сильным парниковым газом, и это может привезти к дальнейшему росту глобальной температуры. Некоторые положительные обратные связи в явном виде включены в модель World3. Так мы смоделировали факторы, определяющие плодородие почв. Кроме того, различные технологии растут по экспоненте, и это проанализировано в гл. 7. Тем не менее определяющими мы считаем процессы роста численности населения и промышленного капитала, именно они ответственны за выход мирового сообщества за пределы и именно на них мы и сосредоточимся.

Численность населения и промышленный капитал в современном обществе играют роль генераторов экспоненциального роста. Другие факторы — например, производство продовольствия, использование ресурсов и выбросы загрязнений — имеют тенденцию к экспоненциальному росту не потому, что они сами себя воспроизводят, а вследствие того, что их к этому вынуждает рост населения и капитала. Они не участвуют в собственных контурах положительной обратной связи и не самовоспроизводятся: пестициды, попавшие в грунтовые воды, не создают другие пестициды, а залегающий под землей каменный уголь не производит еще больше каменного угля. С физической и биологической точек зрения выращивание на одном гектаре 6 т пшеницы вовсе не приведет к выращиванию на том же гектаре 12 т пшеницы, если только в процесс не вовлекаются новые технологии и знания. На самом деле удвоение производства продовольствия или добычи полезных ископаемых не только не становится от раза к разу легче, а наоборот, с течением времени сделать это все труднее.

Таким образом, производство продовольствия и использование сырья и энергии растет экспоненциально вовсе не из-за их внутренней структуры, а только из-за того, что рост населения и экономики требует все больше продовольствия, сырья и энергии, и до сих пор эти требования удавалось удовлетворять. Аналогичным образом, загрязнения и отходы увеличиваются не из-за того, что в них структурно заложен экспоненциальный рост, а вследствие того, что в экономику вовлекается все больше сырья и энергии.

Основные положения модели World3 — заложенная в структуре капитала и численности населения способность к экспоненциальному росту. Эти положения появились не произвольно, они подкрепляются наблюдением за показателями социально-экономической системы и их изменениями на протяжении истории. Рост населения и капитала генерирует рост экологической нагрузки, и так будет продолжаться до тех пор, пока не случится радикальное изменение в потребительских привычках и не наступит существенный рост эффективности использования ресурсов. До сих пор изменений нет ни в том, ни в другом. Численность населения, производственный капитал, а также поддерживающие их потоки энергии и сырья росли по экспоненте как минимум в течение столетия, хотя нельзя сказать, что рост этот всегда был плавным или что на него не влияли другие контуры обратной связи. Мир представляет собой сложную систему. Но и модель World3 тоже сложная, и в этом можно будет убедиться.